Perkalian
Biner Bilangan n Digit dengan 3, 4, 5 dan 6
1. Pendahuluan
Perkalian
bilangan n digit dengan bilangan 1 digit biasa dilakukan dengan perkalian
berurutan, yaitu dengan mengalikan digit terkanan, ”merekam” satuannya dan
”menyimpan” puluhannya, hasil simpanan ditambahkan pada operasi disebelah
kirinya, demikian seterusnya proses diulang, agar proses berhenti maka
disebelah kiri digit terkiri diberi nilai 0.
Contoh :
( 1 ) 8324 x 6 = ?
|
Simpanan
|
4
|
1
|
1
|
2
|
|
|
Bilangan
|
0
|
8
|
3
|
2
|
4
|
|
Dikalikan
dengan
|
|
|
|
|
6
|
|
|
|
48
|
18
|
12
|
24
|
|
Hasil
|
4
|
9
|
9
|
4
|
4
|
Maka : 8324 x 6 =
49944
( 2 ) 8324 x 11 =
?
|
Simpanan
|
9
|
3
|
2
|
4
|
|
|
Bilangan
|
0
|
8
|
3
|
2
|
4
|
|
Dikalikan
dengan
|
|
|
|
|
11
|
|
|
|
88
|
33
|
22
|
44
|
|
Hasil
|
9
|
1
|
5
|
6
|
4
|
Maka : 8324 x 11
= 91564
Pada contoh ( 2 ) diatas hasil ”dengan mudah” dapat ditentukan dengan cara:
Tulis digit terkanan, untuk digit digit selanjutnya tambahkan dengan digit
disebelah kanannya.
Untuk 8324 x 11
dikerjakan dengan
1 :
|
|
0
|
8
|
 3 |
2
|
4
|
4
6
5
1
9
Maka : 8324 x 11
= 91564
Pada tulisan ini akan dibahas cara mudah menentukan hasil perklian bilangan
n digit dengan bilangan 3, 4, 5 dan 6, yaitu dengan memperhatikan hasil satuan
dan hasil puluhan pada tabel pergandaan, hasil puluhannya sebagai ”simpanan” operasi
selanjutnya dalam hal ini dikaitkan dengan ”setengah” dari tetangganya.
2. Pembahasan
Definisi 1:
Bilangan adalah satuan dalam
sistem matematik yang dapat dioperasikan secara matematik [2]
Definisi 2:
Lambang bilangan adalah lambang
yang digunakan untuk menyatakan bilangan, lambang yang dimaksud adalah 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9, lambang bilangan bilangan juga disebut dengan angka [2]
Definisi 3:
Bilangan basis 10 adalah
bilangan dengan format digit terkanan adalah 100 disebut satuan, 101
disebut puluhan, 102 disebut ratusan, ... [2]
Definisi 4:
Bilangan n digit adalah bilangan yang terdiri atas n jajaran angka, angka
terkanan disebut digit ke-1 sedang angka terkiri disebut digit ke-n.[2]
Dalam pembahasan
ini :
digit ke-0 =
digit ke=(n+1) = 0 [1]
Definisi 5:
Operasi biner
adalah operasi antara dua bilangan [1]
Definisi 6:
Tabel dasar Perkalian adalah
tabel yang memuat hasil perkalian operasi biner antara bilangan 1 digit.
|
X
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
1
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
2
|
0
|
2
|
4
|
6
|
8
|
|
3
|
0
|
3
|
6
|
9
|
12
|
|
4
|
0
|
4
|
8
|
12
|
16
|
|
5
|
0
|
5
|
10
|
15
|
20
|
|
6
|
0
|
6
|
12
|
18
|
24
|
|
7
|
0
|
7
|
14
|
21
|
28
|
|
8
|
0
|
8
|
16
|
24
|
32
|
|
9
|
0
|
9
|
18
|
27
|
36
|
|
X
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
1
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
|
2
|
10
|
12
|
14
|
15
|
18
|
|
3
|
15
|
18
|
21
|
24
|
27
|
|
4
|
20
|
24
|
28
|
32
|
36
|
|
5
|
25
|
30
|
35
|
40
|
45
|
|
6
|
30
|
36
|
42
|
48
|
54
|
|
7
|
35
|
42
|
49
|
56
|
63
|
|
8
|
40
|
48
|
56
|
64
|
72
|
|
9
|
45
|
54
|
63
|
72
|
81
|
Tabel 1 : Tabel
Dasar Perkalian
Definisi 7:
Tetangga dari
digit ke n adalah digit ke (n-1) [1]
Dengan demikian angka terkanan memiliki tetangga 0, sedang angka terkiri
adalah tetangga dari 0.
Contoh : 8324
Dituliskan
sebagai 08324
4 memiliki tetangga 0
2 memiliki
tetangga 4, dst.
0 memiliki
tetangga 8, atau
8 adalah tetangga
dari 0.
Definisi 8:
”setengah” dari k adalah hasil pembagian bulat dari 
,
,
”setengah” diberi
notasi ”s” [1]
|
k
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
”s”
|
0
|
0
|
1
|
1
|
2
|
|
k
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
|
”s”
|
2
|
3
|
3
|
4
|
4
|
Tabel 2 : Tabel
”s” dari k
Perhatikan bahwa:
1. Untuk setiap k maka 0 x k = 0, dengan
demikian dari jajaran angka urut dari 0 sampai dengan 9 tinggal tersisa 1
sampai dengan 9, dalam jajaran tersebut maka 5 berada ditengah-tengah.
2. Angka puluhan dari 5 X k sama dengan ”s”
dari k.
Terlihat bahwa angka puluhan yang menjadi ”simpanan” pada operasi
berikutnya selalu melibatkan ”s” dari tetangganya. Dengan demikian tinggal
diamati nilai satuannya.
● Perkalian dengan 3:
Dari Tabel 1 dapat ditentukan
Satuan Hasil Perkalian dengan 3
(SHP3)
|
k
|
0
|
2
|
4
|
6
|
8
|
|
SHP3
|
0
|
6
|
2
|
8
|
4
|
Jika k genap maka:
SHP3 = Nilai
satuan pada : 2 (10- k)
|
k
|
1
|
3
|
5
|
7
|
9
|
|
SHP3
|
3
|
9
|
5
|
1
|
7
|
Jika k ganjil
maka:
SHP3 = Nilai
satuan pada : 2 (10- k) + 5
Sehingga cara mudah menentukan hasil perkalian bilangan n digit dengan 3 :
1. Untuk angka terkanan =
Nilai satuan pada : 2 (10- k), k genap
Nilai satuan pada : 2 (10- k) + 5,
k ganjil
Jika memuat puluhan simpan sebagai
”simpanan”
2. Untuk angka di sebelah kirinya =
Nilai satuan pada : 2 (9- k), k
genap
Nilai satuan pada : 2 (9- k) + 5,
k
ganjil, ditambah ”s” dari
tetangganya.
Jika
dari langkah 1 diperoleh
“simpanan” maka “simpana’ yang ada
ditambahkan pula.
Jika
hasilnya memuat puluhan simpan
sebagai ”simpanan”
3. Ulangi langkah 2 sampai digit ke n
4. Untuk digit ke (n+1) =
”s”
dari digit ke n + ”simpanan”
dikurangi 2
Dengan demikian jika bilangan yang dikalikan n digit diperlukan (n+1)
langkah
Contoh:
( 1 ) 9876 X 3 =
?
Penyelesaian :
Pandang 09876
Langkah 1 : 2
(10-6) = 2 (4) = 8
Langkah 2 : 2 (9-7)+5+”s”
dari 6
= 2 (2)+5+3=4+5+3 = 12
= 2 simpan 1
Langkah 3 : 2 (9-8)+
”s” dari 7+”simpanan”
= 2(1)+3+1=2+3+1= 6
Langkah 4 :
2 (9-9)+5+”s” dari 8
= 2 (0)+5+4=0+5+4 = 9
Langkah 5 : “s”
dari 9 – 2 = 4-2 = 2
Maka : 9876 X 3 =
29628.
Atau dikerjakan
dengan cara lain :
( 2 ) 41692573 X
3 = ?
C = ”simpanan”, H = hasil
|
k
|
OPERASI
|
C
|
H
|
|
3
|
2(10-3)+5 = 19
|
1
|
9
|
|
7
|
2(9-7)+5+1+1
|
1
|
1
|
|
5
|
2(9-5)+5+3+1
|
1
|
7
|
|
2
|
2(9-2)+2+1
|
1
|
7
|
|
9
|
2(9-9)+5+1+1
|
0
|
7
|
|
6
|
2(9-6)+4+0
|
1
|
0
|
|
1
|
2(9-1)+5+3+1
|
2
|
5
|
|
4
|
2(9-4)+0+2
|
1
|
2
|
|
0
|
2+1-2
|
0
|
1
|
Jadi 41692573 X 3
= 125077719
● Perkalian dengan 4
Dari Tabel 1
dapat ditentukan
Satuan Hasil
Perkalian dengan 4 (SHP4)
|
k
|
0
|
2
|
4
|
6
|
8
|
|
SHP4
|
0
|
8
|
6
|
4
|
2
|
Jika k genap maka
:
SHP4 = 10- k
|
k
|
1
|
3
|
5
|
7
|
9
|
|
SHP4
|
4
|
2
|
0
|
8
|
6
|
Jika k ganjil
maka:
SHP4 = 15- k
Sehingga cara
mudah menentukan hasil perkalian
bilangan n digit dengan 4 :
1. Untuk angka terkanan =
Nilai satuan pada : 10- k, k genap
Nilai satuan pada : 15- k, k ganjil
Jika memuat puluhan simpan sebagai
”simpanan”
2. Untuk angka di
sebelah kirinya =
Nilai satuan pada : (9- k)+”s” dari
tetangganya, k genap
Nilai satuan pada : (9- k) + “s” dari
tetangganya + 5, k ganjil
Jika
dari langkah 1 diperoleh
“simpanan” maka “simpana’ yang ada
ditambahkan pula.
Jika hasilnya memuat puluhan simpan
sebagai ”simpanan”
3. Ulangi langkah
2 sampai digit ke n
4. Untuk digit ke
(n+1) =
”s” dari digit ke n + ”simpanan”-1
Contoh :
( 1 ) 4765 X 4 =
?
Penyelesaian :
C = ”simpanan”, H = hasil
|
k
|
OPERASI
|
C
|
H
|
|
5
|
15-5
|
1
|
0
|
|
6
|
(9-6)+2+1
|
0
|
6
|
|
7
|
(9-7)+3+5+0
|
1
|
0
|
|
4
|
(9-4)+3+1
|
0
|
9
|
|
0
|
2-1+0
|
0
|
1
|
Jadi 4765 X 4 =
19060
( 2 ) 87645912 X
4 = ?
Penyelesaian :
C = ”simpanan”, H = hasil
|
k
|
OPERASI
|
C
|
H
|
|
2
|
10-2
|
0
|
8
|
|
1
|
(9-1)+1+5+0
|
1
|
4
|
|
9
|
(9-9)+0+5+1
|
0
|
6
|
|
5
|
(9-5)+4+5+0
|
1
|
3
|
|
4
|
(9-4)+2+1
|
0
|
8
|
|
6
|
(9-6)+2+0
|
0
|
5
|
|
7
|
(9-7)+3+5+0
|
1
|
0
|
|
8
|
(9-8)+3+1
|
0
|
6
|
|
0
|
4-1+0
|
0
|
3
|
Jadi 87645912 X 4
= 360583648
● Perkalian dengan 5
Dari Tabel 1
dapat ditentukan
Satuan Hasil
Perkalian dengan 5 (SHP5)
|
k
|
0
|
2
|
4
|
6
|
8
|
|
SHP5
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
Jika k genap maka
:
SHP5 = 0
|
k
|
1
|
3
|
5
|
7
|
9
|
|
SHP5
|
5
|
5
|
5
|
5
|
5
|
Jika k ganjil
maka:
SHP5 = 5
Sehingga cara
mudah menentukan hasil perkalian
bilangan n digit dengan 5 :
1. Untuk angka terkanan = 0, k genap
5, k ganjil
2. Untuk angka di
sebelah kirinya =
0+”s” dari tetangganya, k genap
5+ “s” dari tetangganya + 5, k ganjil
3. Ulangi
langkah 2 sampai selesai
Contoh:
( 1 ) 7896
X 5 = ?
Penyelesaian:
H = hasil
|
k
|
OPERASI
|
H
|
|
6
|
|
0
|
|
9
|
5+3
|
8
|
|
8
|
0+4
|
4
|
|
7
|
5+4
|
9
|
|
0
|
0+3
|
3
|
Jadi 7896 X 5 =
39480
( 2 ) 86532947 X
5 = ?
Penyelesaian:
H = hasil
|
k
|
OPERASI
|
H
|
|
7
|
|
5
|
|
4
|
0+3
|
3
|
|
9
|
5+2
|
7
|
|
2
|
0+4
|
4
|
|
3
|
5+1
|
6
|
|
5
|
5+1
|
6
|
|
6
|
0+2
|
2
|
|
8
|
0+3
|
3
|
|
0
|
0+4
|
4
|
Jadi 86532947 X 5
= 432664735
● Perkalian dengan 6
Dari Tabel 1
dapat ditentukan
Satuan Hasil
Perkalian dengan 6 (SHP6)
|
k
|
0
|
2
|
4
|
6
|
8
|
|
SHP6
|
0
|
2
|
4
|
6
|
8
|
Jika k genap maka
:
SHP6 = k
|
k
|
1
|
3
|
5
|
7
|
9
|
|
SHP5
|
6
|
8
|
0
|
2
|
4
|
Jika k ganjil
maka:
SHP6 = k+5
Sehingga cara
mudah menentukan hasil perkalian
bilangan n digit dengan 6 :
1. Untuk angka terkanan = k, k
genap
k+5, k
ganjil
Jika memuat puluhan simpan sebagai
”simpanan”
2. Untuk angka di
sebelah kirinya =
k+”s” dari tetangganya, k genap
k+5+”s” dari tetangganya, k
ganjil
Jika dari langkah 1 diperoleh
“simpanan” maka “simpanan” yang
ada
ditambahkan pula.
Jika hasilnya memuat puluhan
simpan
sebagai ”simpanan”
3. Ulangi langkah
2 sampai selesai
Contoh:
Contoh:
( 1 ) 8324
X 6 = ?
Penyelesaian:
C = ”simpanan”, H = hasil
|
k
|
OPERASI
|
C
|
H
|
|
4
|
4
|
2
|
4
|
|
2
|
2+2
|
0
|
4
|
|
3
|
3+5+1+0
|
0
|
9
|
|
8
|
8+1+0
|
0
|
9
|
|
0
|
0+4+0
|
0
|
4
|
Jadi 8324 X 6 = 49944
( 2 ) 24653721 X
6 = ?
Penyelesaian:
H = hasil
|
k
|
OPERASI
|
C
|
H
|
|
1
|
1+5
|
0
|
6
|
|
2
|
2+0+0
|
0
|
2
|
|
7
|
7+5+1+0
|
1
|
3
|
|
3
|
3+5+3+1
|
1
|
2
|
|
5
|
5+5+1+1
|
1
|
2
|
|
6
|
6+2+1
|
0
|
9
|
|
4
|
4+3+0
|
0
|
7
|
|
2
|
2+2+0
|
0
|
4
|
|
0
|
0+1+0
|
0
|
1
|
Jadi = 24653721 X
6 = 147922326
3. KESIMPULAN
|
BIL
|
Langkah awal
|
Langkah tengah
|
Langkah akhir
|
|
3
|
2(10-k)+5, jika
ganjil
2(10-k), jika k
genap
|
2(9-k)+”setengah”
tetangganya+5, jika k ganjil
2(9-k)+”setengah”
tetangganya, jika k genap
|
”setengah”
angka terkiri - 2
|
|
4
|
Untuk k ganjil
:
(10-k)+5
Untuk k genap :
(10-k),
|
Untuk k ganjil
:
(9-k)+”setengah”
tetangganya+5
Untuk k genap :
(9-k)+”setengah”
tetangganya
|
”setengah”
angka terkiri - 1
|
|
5
|
Untuk k ganjil
: ”setengah” tetangganya+5
Jika k genap :
”setengah”
tetangganya
|
Untuk k ganjil
: ”setengah” tetangganya+5
Jika k genap :
”setengah”
tetangganya
|
Untuk k ganjil
: ”setengah” tetangganya+5
Jika k genap :
”setengah”
tetangganya
|
|
6
|
Untuk k ganjil
:
k + ”setengah”
tetangganya + 5,
Untuk k genap :
k+ ”setengah”
tetangganya
|
Untuk k ganjil
:
k + ”setengah”
tetangganya + 5,
Untuk k genap :
k+ ”setengah”
tetangganya
|
Untuk k ganjil
:
k + ”setengah”
tetangganya + 5,
Untuk k genap :
k+ ”setengah”
tetangganya
|
4. DAFTAR PUSTAKA
[1]
And Cutler and Rudolph McShane, (2005), The Trachtenberg Speed System of Basic Mathematics,
3’th Edition, Souvernir Press LTD, London
[2] Suparmo, Matematika Dasar (1995), PT. Remaja Rosdakarya Offset, Bandung
Tidak ada komentar:
Posting Komentar